নির্ণায়ক (Determinant) এর গুণাবলী

নির্ণায়কের কিছু গুরুত্বপূর্ণ গুণাবলী রয়েছে যা ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন গাণিতিক কার্যক্রম এবং বৈশিষ্ট্য বুঝতে সাহায্য করে। এখানে নির্ণায়কের কিছু মৌলিক গুণাবলী এবং সেগুলির প্রমাণ দেওয়া হল:

১. নির্ণায়কের মান পরিবর্তন হয় যদি দুইটি সারি বা কলাম বিনিময় করা হয়।

যদি \( A \) একটি \( n \times n \) ম্যাট্রিক্স হয় এবং আমরা এর দুটি সারি (বা কলাম) বিনিময় করি, তবে নির্ণায়ক পরিবর্তিত হবে। অর্থাৎ,
\[
\text{det}(A') = - \text{det}(A)
\]
এখানে, \( A' \) হল সেই ম্যাট্রিক্স যেটির দুইটি সারি বা কলাম বিনিময় করা হয়েছে।

প্রমাণ:
ধরা যাক, \( A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_1 & z_2 & \cdots & z_n \end{bmatrix} \) একটি \( n \times n \) ম্যাট্রিক্স।
যখন দুইটি সারি বিনিময় করা হয়, তখন নির্ণায়কের মানের সাইন পরিবর্তিত হয় (এটি একধরণের গাণিতিক প্রপার্টি)।

২. যদি কোন সারি বা কলামে সমস্ত উপাদান শূন্য থাকে তবে নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।

যদি কোনো সারি বা কলাম পুরোপুরি শূন্য থাকে, তবে সেই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হবে।
\[
\text{det}(A) = 0
\]
এখানে, \( A \) এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার কোনো সারি বা কলাম সম্পূর্ণ শূন্য।

প্রমাণ:
ধরা যাক, \( A \) একটি \( n \times n \) ম্যাট্রিক্স যার কোনো সারি বা কলাম শূন্য। এতে, নির্ণায়ক হিসাব করার জন্য কোলামের বা সারির উপাদানগুলোর গুণফল শূন্য হবে, ফলে নির্ণায়ক শূন্য হবে।

৩. নির্ণায়ক একটি স্কেলারের সঙ্গে গুণ করলে, গুণফলও স্কেলারের সঙ্গে গুণ হবে।

যদি \( A \) একটি \( n \times n \) ম্যাট্রিক্স হয় এবং \( k \) একটি স্কেলার সংখ্যা হয়, তবে
\[
\text{det}(kA) = k^n \cdot \text{det}(A)
\]

প্রমাণ:
যখন \( A \) ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানকে \( k \)-এর সাথে গুণ করা হয়, তখন গুণফলে \( k \) প্রতিটি সারি বা কলামের জন্য \( k \)-এর গুণফল হয়, ফলে নির্ণায়কের মান \( k^n \) এর গুণফলে পরিণত হয়।

৪. ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সমান।

যদি \( A \) একটি \( n \times n \) ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তার ট্রান্সপোজ \( A^T \) এর নির্ণায়ক হবে \( A \)-এর নির্ণায়কের সমান। অর্থাৎ,
\[
\text{det}(A^T) = \text{det}(A)
\]

প্রমাণ:
ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ করার ফলে সারি এবং কলামের স্থান পরিবর্তিত হয়, কিন্তু নির্ণায়ক পরিবর্তিত হয় না। তাই, \(\text{det}(A^T) = \text{det}(A)\) হয়।

৫. যদি ম্যাট্রিক্সের কোনো এক সারি বা কলামে অন্য সারি বা কলামের গুণফল থাকে, তবে নির্ণায়ক শূন্য হবে।

যদি একটি ম্যাট্রিক্সের কোনো সারি বা কলাম অন্য একটি সারি বা কলামের গুণফল হয়, তবে ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হবে।

প্রমাণ:
ধরা যাক, \( A \) একটি \( n \times n \) ম্যাট্রিক্স, এবং এর কোনো একটি সারি বা কলাম অন্য একটি সারি বা কলামের গুণফল। এতে, নির্ণায়কের মান শূন্য হবে কারণ ওই সারি বা কলামগুলোর মধ্যে কোনো ভিন্নতা নেই।

উপসংহার

নির্ণায়কের এই গুণাবলী ম্যাট্রিক্সের বিশ্লেষণ এবং গাণিতিক সমীকরণের সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এগুলো বিভিন্ন গণনাযুক্ত সিদ্ধান্ত এবং গাণিতিক নিয়মাবলী প্রমাণের জন্য ব্যবহার করা হয়।